Gruppen
(Axiomatische Einführung) Ziel dieser Einführung ist lediglich die Begriffe einzuführen, an der einen oder anderen Stelle konkrete Realisierungen anzubieten und vielleicht die eine oder andere Schlussfolgerung zu ziehen. Eine Darstellung der Gruppentheorie, also die Vorstellung von Gruppen und ihre Sätze bleibt der einschlägigen Literatur vorbehalten: Literatur:
Autor:
Albrecht Beutelspacher
Autor: Goos
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Halbgruppe oder assoziatives Verknüpfungs- Gebilde |
a ° (b ° c) = (a ° b) ° c Gilt das
Assoziativgesetz schreibt man für
a
° (b
° c) bzw.
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Beispiel | Wählen
wir für H die Menge R* = {r|r > 1}R, mit R als Menge der
reellen Zahlen, und als Verknüpfung die üblich Multiplikation. Es
ist offensichtlich, dass R* bezüglich der Multiplikation abgeschlossen
ist. Auch das AG ist erfüllt. Die Suche nach einem Element in R*, das mit einem anderen Element aus R* multipliziert, dieses andere Element wieder liefert, bleibt erfolglos. Die Vermutung, dass dies doch die 1 tue, ist falsch, denn 1 liegt nicht in R*.
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Monoid | Die
Halbruppe (M,
°) heißt Monoid
wenn es ein Element e in H so gibt, dass für alle Elemente a aus H gilt:
e
°
a = a
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Beispiel |
Wir wählen jetzt R** = {r|r ≥ 1}R.
Die Multiplikation sei wieder unsere Verknüpfung. Das gesuchte neutrale
Element ist die Zahl 1. Ein weiters Beispiel für ein Monoid ist die Menge
N0 mit der Addition als Verknüpfung. In diesem Fall ist die 0
das neutrale Element.
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Eindeutigkeit des neutralen Elementes | Wir
beweisen die Eindeutigkeit des neutralen Elementes in einem Monoid: Sei el
ein linksneutrales Element und entsprechend er ein
rechtsneutrales. Wir bilden die Verknüpfung el
°
er.
Wegen der "Linksneutralität" von el
gilt: el
°
er = er Also muss er = el sein. Das bedeutet, haben wir ein linksneutrales Element gefunden, ist es auch rechtsneutral. Bleibt noch die Eindeutigkeit zu zeigen: Wir führen den Beweis durch einen Widerspruch. Wir gehen also davon aus, das neutrale Element wäre nicht eindeutig; dann muss es aber (mindestens) zwei nicht gleiche neutrale Element geben. Seien e1 ≠
e2 neutrale Elemente. Dann
gilt wie oben e1 = e1
° e2 =
e2 und damit |
Gruppe | Die
Forderung nach der Existenz von inversen Elementen macht ein Monoid zu
einer Gruppe. Ein Monoid (G, °) heißt Gruppe, wenn es zu jedem a aus H ein Element a* gibt mit: a °a* = e Man kann auch hier zeigen, dass ein linksinverses Element auch rechtsinvers ist. Schließlich ist das inverse Element zu a eindeutig. Man führe den beweis zur Übung. (Tipp: nehmen Sie an a* sei linksinverses und a' rechtsinverses Element zu a und berechnen Sie a*° a ° a'.
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Beispiel | Man
könnte vermuten, wenn wir R** auf ganz R erweitern, bekämen wir eine Gruppe
(wir halten an der Multiplikation als Verknüpfung fest). Das Inverse
zu 2 wäre dann ½, und das Inverse zu ¼ wäre 4 denn ihre Produkte ergeben
das neutrale Element 1. Aber der Forderung, dass man zu jedem Element ein
solches Inverses findet, kann R nicht genügen, denn zur 0 lässt sich kein
Element 0* finden, mit 0.0* = 1. Wie man aber leicht einsieht,
erfüllt (R\{0},.) alle Bedingungen für eine Gruppe. Dass (Z,+)
ebenfalls eine Gruppe ist möge man selbst nachprüfen. Dass es neben den
genannten Beispielen unzählige weitere Beispiele für Gruppen gibt, sei
zumindest erwähnt. Die Drehgruppen aus der Geometrie zeiegn, dass es sich
nicht immer um Zahlen handeln muss. Die konkret genannten Gruppen haben eine weitere Eigenschaft, die in Gruppen nicht gefordert ist, nämlich die Kommutativität.
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abelsche Gruppe | Eine
Gruppe (G,
°)
heißt abelsch oder
kommutativ, wenn zusätzlich gefordert ist: Für alle a und b aus G
gilt: a
°
b = b
°
a |
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