Gruppen (Axiomatische Einführung)

Ziel dieser Einführung ist lediglich die Begriffe einzuführen, an der einen oder anderen Stelle konkrete Realisierungen anzubieten und vielleicht die eine oder andere Schlussfolgerung zu ziehen. Eine Darstellung der Gruppentheorie, also die Vorstellung von Gruppen und ihre Sätze bleibt der einschlägigen Literatur vorbehalten:

Literatur:

Autor: Albrecht Beutelspacher
Titel: Lineare Algebra
Verlag:
vieweg
ISBN: 3-528-46508-5
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Autor: Goos
Titel: Vorlesungen zur Informatik Band 1:
Verlag: Springer-Verlag Berlin Heidelberg
ISBN: 3540672702
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Halbgruppe oder assoziatives Verknüpfungs- Gebilde Sei H eine Menge und ° eine Verknüpfung, die einem geordneten Paar von Elementen aus H (a,b) das Element a ° b aus H zuordnet. (H, ° ) heißt Halbgruppe, wenn in (H, ° ) das Assoziativgesetz gilt, wenn also für alle a, b und c aus H gilt:

 a
° (b ° c)  = (a ° b) ° c

Gilt das Assoziativgesetz schreibt man für a ° (b ° c) bzw.
(a
° b) ° c kurz a ° b ° c, wohl wissend, dass es keine Verknüpfung ° zwischen drei Elementen aus H gibt. Das keine Klammern mehr geschrieben werden, sagt nur, dass es nicht auf die Reihenfolge ankommt, in der die Verknüfungen 'abgearbeitet' werden.

 

Beispiel Wählen wir für H die Menge R* = {r|r > 1}R, mit R als Menge der reellen Zahlen, und als Verknüpfung die üblich Multiplikation. Es ist offensichtlich, dass R* bezüglich der Multiplikation abgeschlossen ist. Auch das AG ist erfüllt.
Die Suche nach einem Element in R*, das mit einem anderen Element aus R* multipliziert, dieses andere Element wieder liefert, bleibt erfolglos. Die Vermutung, dass dies doch die 1 tue, ist falsch, denn 1 liegt nicht in R*.

 

Monoid Die Halbruppe (M, °) heißt Monoid wenn es ein Element e in H so gibt, dass für alle Elemente a aus H gilt:

e ° a = a
Das Element e heißt neutrales Element.
Warum wir e nicht linksneutral (
el ° a = a) nennen und dann auch ein entsprechendes rechtsneutrales Element (a  ° er= a) einführen, werden wir weiter unten einsehen.

 

Beispiel Wir wählen jetzt R** = {r|r ≥ 1}R. Die Multiplikation sei wieder unsere Verknüpfung. Das gesuchte neutrale Element ist die Zahl 1. Ein weiters Beispiel für ein Monoid ist die Menge N0 mit der Addition als Verknüpfung. In diesem Fall ist die 0 das neutrale Element.

 

Eindeutigkeit des neutralen Elementes Wir beweisen die Eindeutigkeit des neutralen Elementes in einem Monoid: Sei el ein linksneutrales Element und entsprechend er ein rechtsneutrales. Wir bilden die Verknüpfung el ° er.

Wegen der "Linksneutralität" von el gilt: el ° er = er
Wegen der "Rechtsneutralität" von er gilt: el
° er = el

Also muss er = el sein.

Das bedeutet, haben wir ein linksneutrales Element gefunden, ist es auch rechtsneutral.

Bleibt noch die Eindeutigkeit zu zeigen: Wir führen den Beweis durch einen Widerspruch. Wir gehen also davon aus, das neutrale Element wäre nicht eindeutig; dann muss es aber (mindestens) zwei nicht gleiche neutrale Element geben.

Seien e1 e2 neutrale Elemente. Dann gilt wie oben e1 = e1 ° e2 = e2 und damit
e1 = e2. Damit haben wir einen Widerspruch zu e1
e2 ist. Also muss e1 = e2 sein. (Angemerkt sei, dass wir keine Kommutativität benutzt haben)
 

Gruppe Die Forderung nach der Existenz von inversen Elementen macht ein Monoid zu einer Gruppe.

Ein Monoid (G,
°heißt Gruppe, wenn es zu jedem a aus H ein Element a* gibt mit:

a °a* =  e

Man kann auch hier zeigen, dass ein linksinverses Element auch rechtsinvers ist. Schließlich ist das inverse Element zu a eindeutig. Man führe den beweis zur Übung. (Tipp: nehmen Sie an a* sei linksinverses und a' rechtsinverses Element zu a und berechnen Sie a*° a ° a'.

 

Beispiel Man könnte vermuten, wenn wir R** auf ganz R erweitern, bekämen wir eine Gruppe (wir halten an der Multiplikation als Verknüpfung fest). Das Inverse zu 2 wäre dann ½, und das Inverse zu ¼ wäre 4 denn ihre Produkte ergeben das neutrale Element 1. Aber der Forderung, dass man zu jedem Element ein solches Inverses findet, kann R nicht genügen, denn zur 0 lässt sich kein Element 0* finden, mit 0.0* = 1. Wie man aber leicht einsieht, erfüllt (R\{0},.) alle Bedingungen für eine Gruppe. Dass (Z,+) ebenfalls eine Gruppe ist möge man selbst nachprüfen. Dass es neben den genannten Beispielen unzählige weitere Beispiele für Gruppen gibt, sei zumindest erwähnt. Die Drehgruppen aus der Geometrie zeiegn, dass es sich nicht immer um Zahlen handeln muss.

Die konkret genannten Gruppen haben eine weitere Eigenschaft, die in Gruppen nicht gefordert ist, nämlich die Kommutativität.

 

abelsche Gruppe Eine Gruppe (G, °) heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich gefordert ist:  Für alle a und b aus G gilt:

a ° b = b ° a
Bei den aufgeführten Gruppen handelt es sich also sogar um abelsche Gruppen.

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