Taylorpolynom und Taylorreihe
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Taylor, Brook (1685-1731;46) | Ein Taylorpolynom löst die folgende
Aufgabe: Eine Funktion, deren Eigenschaften noch genauer
beschrieben werden, soll durch eine ganzrationale
Funktion, dem sog. Taylorpolynom approximiert werden. Diese Approximation geschieht lokal. Dies zeigt sich in der Verwendung eines sog. Entwicklungszentrums. Bleibt man hinreichend nahe an diesem Zentrum, macht man keine "allzu große Fehler" wenn man die vorgegebene Funktion durch ihr Taylorpolynom ersetzt. Mit diesen Ungenauigkeiten erkauft man sich, wie wir noch sehen werden, leichteres Rechnen. |
Taylorpolynom | Definition:
Gegeben sei eine Funktion f, die auf dem offenen
Intervall I=]a,b[ mindestens n-mal differenzierbar ist. Die ganzrationale Funktion Tx0;n heißt Taylorpolynom n-ten Grades mit dem Zentrum x0 von f, wenn Tx0;n in Funktionswert und in den Werten der ersten n Ableitungen an der Stelle x0 mit dem Wert von f bzw. den Werten der ersten n Ableitungen von f an der Stelle x0 übereinstimmt. Nachrechnen zeigt, dass folgende Funktion diese Bedingung erfüllt: Am Beispiel der cos-Funktion zeigen wir, wie man dieses Taylorpolynom findet: Als Enrwicklungszentrum
wählen wir x0 = 0: Die Abbildung zeigt die Schaubilder des cos und der ersten 5 Taylorentwicklungen. Die Schaubilder von T0;1(x) und T0;3(x) sind nicht gezeigt, da Sie sich, wie die Rechnung zeigt nicht von T0;0(x) bzw T0;2(x) unterscheiden. Taylorreihenentwicklungen lassen sich u.a. dazu verwenden Funktionswerte zu bestimmen. Wir zeigen dies, zur leichteren Überprüfung, an einem Beispiel, bei dem der Funktionswert durch einfache geometrische Überlegungen gewonnen werden kann. |
Taylorreihe | Es gibt
Funktionen, die in einem bestimmten Intervall beliebig
genau approximiert werden können. Bei manchen ist dieses
"Konvergenzintervall" ganz R. Zu diesen
Funktionen gehören auch sin-, cos- und exp-Funktion. Das
unten stehende Bild zeigt das Schaubild von cos(x), T0;10(x)
und T0;38(x).
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Animationen |
Mit Hilfe einer Maple-Prozedur
kann man Taylorreihenentwicklung animieren. Die Prozedur erzeugt
nacheinander Entwicklungen bis zu einem Grad, den man als Parameter der
Prozedur übergeben hat. Ebenfalls übergeben wird das Zentrum der
Entwicklung und ein "Radius", der den Bereich um das Zentrum definiert,
in dem die Plots erzeugt werden. Denn für jede einzelne Entwicklung wird
ein Plot erzeugt. Diese werden dann in einer Endlosschleife zu einer
Animation aneinandergereiht.
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Beispiel: f | |
Beispiel: g |
Die
Animationen von f und g zeigen die Folgen von
Entwicklungen mit wachsendem Grad (bis 32). Bei der
Animation von g ist das Entwicklungszentrum p. |
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