Taylorpolynom und Taylorreihe

 

Taylor, Brook (1685-1731;46) Ein Taylorpolynom löst die folgende Aufgabe: Eine Funktion, deren Eigenschaften noch genauer beschrieben werden, soll durch eine ganzrationale Funktion, dem sog. Taylorpolynom approximiert werden.

Diese Approximation geschieht lokal. Dies zeigt sich in der Verwendung eines sog. Entwicklungszentrums. Bleibt man hinreichend nahe an diesem Zentrum, macht man keine "allzu große Fehler" wenn man die vorgegebene Funktion durch ihr Taylorpolynom ersetzt. Mit diesen Ungenauigkeiten erkauft man sich, wie wir noch sehen werden, leichteres Rechnen.

Taylorpolynom Definition: Gegeben sei eine Funktion f, die auf dem offenen Intervall
I=]a,b[ mindestens n-mal differenzierbar ist. Die ganzrationale Funktion Tx0;n heißt Taylorpolynom n-ten Grades mit dem Zentrum x0 von f, wenn Tx0;n in Funktionswert und in den Werten der ersten n Ableitungen an der Stelle x0 mit dem Wert von f bzw. den Werten der ersten n Ableitungen von f an der Stelle x0 übereinstimmt.

Nachrechnen zeigt, dass folgende Funktion diese Bedingung erfüllt:

Am Beispiel der cos-Funktion zeigen wir, wie man dieses Taylorpolynom findet:

Als Enrwicklungszentrum wählen wir x0 = 0:
Mit f(0) = cos(0) = 1, f'(0) = -sin(0) = 0, f''(0) = -cos(0) = -1, f'''(0) = sin(0) = 0 und f(iv) = cos(0) = 1 bekommen wir für T0;4:

Die Abbildung zeigt die Schaubilder des cos und der ersten 5 Taylorentwicklungen. Die Schaubilder von T0;1(x) und T0;3(x) sind nicht gezeigt, da Sie sich, wie die Rechnung zeigt nicht von T0;0(x) bzw T0;2(x) unterscheiden.

Taylorreihenentwicklungen lassen sich u.a. dazu verwenden Funktionswerte zu bestimmen. Wir zeigen dies, zur leichteren Überprüfung, an einem Beispiel, bei dem der Funktionswert durch einfache geometrische Überlegungen gewonnen werden kann.

Taylorreihe Es gibt Funktionen, die in einem bestimmten Intervall beliebig genau approximiert werden können. Bei manchen ist dieses "Konvergenzintervall" ganz R. Zu diesen Funktionen gehören auch sin-, cos- und exp-Funktion. Das unten stehende Bild zeigt das Schaubild von cos(x), T0;10(x) und T0;38(x).

 

Animationen

Darstellung des Maple-worksheets

Download des Maple-worksheets
zur Animation

Mit Hilfe einer Maple-Prozedur kann man Taylorreihenentwicklung animieren. Die Prozedur erzeugt nacheinander Entwicklungen bis zu einem Grad, den man als Parameter der Prozedur übergeben hat. Ebenfalls übergeben wird das Zentrum der Entwicklung und ein "Radius", der den Bereich um das Zentrum definiert, in dem die Plots erzeugt werden. Denn für jede einzelne Entwicklung wird ein Plot erzeugt. Diese werden dann in einer Endlosschleife zu einer Animation aneinandergereiht.

 

 

Beispiel: f

Beispiel: g

Die Animationen von f und g zeigen die Folgen von Entwicklungen mit wachsendem Grad (bis 32). Bei der Animation von g ist das Entwicklungszentrum p.
 

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