II Logik - Daten - Datenströme
10 Rechner und Logik
10.1 Funktionen auf BxB ->B

 

Funktionen Ein zentraler Begriff in der Mathematik ist der Begriff der Funktion. Funktionen werden dadurch festgelegt, dass man zunächst  eine Menge Definitionsmenge D und eine Wertemenge W festlegt und dann jedem Element aus D genau ein Element aus W eindeutig zuordnet. In der Tanzschule wird bei der Damenwahl jeder Dame (Definitionsmenge) genau ein Herr (Wertemenge) zugeordnet. Wir gehen davon aus, dass keine Dame leer auszugehen hat. Eine solche Funktion ist eindeutig festgelegt, wenn die Tanzpaare kennen. In der Mathematik sind die Mengen oft sehr groß, ja sie enthalten i.a. unendlich viele Elemente, so dass wir auf eine Zuordnungsvorschrift angewiesen sind, um die Funktion eindeutig zu beschreiben. Wir lernen jetzt eine mathematische Funktion kennen, die  wieder mehr unserer Damenwahl ähnlich ist.
Die Menge B Die Menge B - der Buchstabe erinnere an binär oder, wenn man will, erinnert er an Bool - enthält nur zwei Werte: 0 und 1. Damit schreiben wir: B = {0,1}. Wir werden später sehen, dass wir das Element 0 als false (oder falsch oder F oder f) und das Element 1 als true (oder wahr oder W oder w) interpretieren, was zur Folge hat, dass wir mit dem Rechner Logik simulieren können, d.h. den Rechner logische Operationen in dem Sinne ausführen lassen können, wie ein Rechner auch Rechnungen ausführt.
Zweielementige Funktionen Es gibt nun in der Mathematik auch Funktionen, die einem Paar von Elementen eine neues Element zuordnen. Für den Definitionsbereich schreiben wir D1xD2. Ein Beispiel ist die S-Multiplikation in der Oberstufenmathematik. Dort wird eine reelle Zahl mit einem Vektor verknüpft und das Bild der Funktion ist wieder ein Vektor. Wir haben also: RxV -> V.
Uns interessiert BxB -> B. Da B nur zwei Elemente enthält kann es nur 16 verschieden Funktionen von diesem Typ geben. Ihre Eigenschaften untersuchen wir anhand einfacher Tabellen.
   
zu 10.2 Die 16 Funktionen B x B
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