10.2 Die 16 Funktionen BxB ->B
  Einem Zahlenpärchen (a,b) wird einer Zahl c  zugeordnet. Allerdings lassen wir für a,b und c  nur die Zahlen "0" und "1" zu.
Wie man leicht einsehen kann, gibt es genau 16 solche Funktionen, denn es gibt 16 Möglichleiten 0 und 1 zu permutieren. Die Ergebnisse stellen wir in Form von Tabellen dar.  Dabei sind die ersten beiden Spalten der Tabellen immer gleich, um die Werte der 16 Funktonen besser vergleichen zu können.
Wertetabellen der 16 Funktionen

a

b

c

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

a

b

c

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

a

b

c

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

a

b

c

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

a

b

c

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

a

b

c

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

0

a

b

c

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

a

b

c

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

a

b

c

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

a

b

c

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

a

b

c

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

a

b

c

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

a

b

c

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

a

b

c

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

a

b

c

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

a

b

c

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Interpretation:
von der Syntax zur Semantik
Wir betrachteten bisher rein syntaktische Strukturen. Wir gehen über zur Semantik, wenn wir die Zeichen "0" und "1" als wahr und falsch interpretieren. Den 16 Funktionstabellen geben wir damit auch eine (Be)deutung. Um die semantische von der rein syntaktischen Tabellen auch optisch zu unterscheiden, schreiben wir für die "1" dann gerne "T" (= true) und für "0" das Zeichen "F" (= false).

Beispiele für die Interpretation:

a

b

c

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

->

a

b

c

c lässt sich jetzt als 
a oder b 
kurz 
aÚ

interpretieren (oder-Verknüfung)

a

b

c

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

->

a

b

c

F

T

c lässt sich als
a und b
kurz
aÙb
interpretieren (und-Verknüpfung)

a

b

c

0

0

0

1

1

0

1

1

->

a

b

c

c ist
nicht a

kurz
Øa
(Negation)

a

->

a

F

F

F

T

T

c ist
entweder a oder b
kurz
a XOR b

->

b

c

T

c ist
weder a noch b
kurz
a NOR b
man beachte schon hier: a NOR b = Ø(aÚ b)

0 

1 

0 

1 

0 

1 

->

b

c

F

F 

T 

F

T 

F 

T 

c ist
a

Auf die gleiche Weise lassen sich die restlichen  10 Tabellen übersetzen und ihnen damit eine Bedeutung geben. Vergleichen Sie dazu die "16 Wahrheitstabellen aus dem Tractatus von L. Wittgenstein und die Hausaufgaben.
Reduktion auf 
Ø
, Ù und  Ú Verknüpfung
Für die Hard- und die Software ist nun interessant, dass sich komplexere logischen Operationen auf einfachere logische Operationen wie z.B. die Negation (Ø) und die und (Ù) und oder (Ú) - Verknüpfung zurückführen lassen. Wir nennen dies eine Reduktion. Wir werden in der nächsten Einheit sehen, dass sich einfache Tabellen unserer Funktionen durch einfache Kombinationen von Transistoren darstellen lassen. Somit hat man die Möglichkeit durch elektrische Schaltungen Logik zu modellieren, was für die Erstellung der Hardware sehr wichtig ist.
Als Beispiel zeigen wir die Reduktion von a XOR b :

a

b

A = ØaÙb

B = aÙØb

AÚB

F

F

F

F

F

F

T

T

F

T

T

F

F

T

T

T

T

F

F

F

Der Vergleich mit a XOR b zeigt die Identität:

a XOR b = (ØaÙb)Ú(aÙØb)
zu 10.3 Boolsche Operatoren in Java
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